Question

设g(x)=px-

q

x

-2f(x)，其中f（x）=lnx，且g(e)=qe-

p

e

-2．（e为自然对数的底数）
（Ⅰ）求p与q的关系；
（Ⅱ）若g（x）在其定义域内为单调函数，求p的取值范围．

Answer 1

分析：（I）根据g（x）的解析式，表示出g（e），再根据g(e)=qe-

p

e

-2，列出方程，即可得到p与q的关系；
（II）根据题意，可知g′（x）≥0或g′（x）≤0在定义域内恒成立，转化成h（x）=px²-2x+p≥0或h（x）=px²-2x+p≤0恒成立，利用二次函数的性质求解，即可得到p的取值范围．

解答：解：（I）由题意知，g(x)=px-

q

x

-2lnx，
∵g(e)=qe-

p

e

-2，
∴pe-

q

e

-2=qe-

p

e

-2，
∴(p-q)e+(p-q)

1

e

=0，即(p-q)(e+

1

e

)=0，
而e+

1

e

≠0，
∴p与q的关系为p=q；
（II）由（I）知，g(x)=px-

p

x

-2lnx，
∴g′(x)=p+

p

x2

-

2

x

=

px2-2x+p

x2

，
令h（x）=px²-2x+p，
∵g（x）在其定义域（0，+∞）内为单调函数，
∴h（x）≥0或h（x）≤0在（0，+∞）恒成立，
①当p=0时，h（x）=-2x，
∵x＞0，则h（x）＜0，
∴g′(x)=-

2x

x2

＜0，
∴g（x）在（0，+∞）内为单调递减，
故p=0适合题意；
②当p＞0时，h（x）=px²-2x+p，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为x=

1

p

∈（0，+∞），
∴h(x)min=p-

1

p

．
∴p-

1

p

≥0，即p≥1时，h（x）≥0，
∴g'（x）≥0，
∴g（x）在（0，+∞）内为单调递增，
故p≥1适合题意；
③当p＜0时，h（x）=px²-2x+p，其图象为开口向下的抛物线，对称轴为x=

1

p

∉（0，+∞），
∴h（0）≤0，即p≤0时，h（x）≤0在（0，+∞）恒成立，
故p＜0适合题意．
综合①②③，p的取值范围为p≥1或p≤0．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，函数的单调性对应着导数的正负．已知函数的单调性，经常会利用导数转化成恒成立问题进行处理．属于中档题．