Question

已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，若这个球的表面积为12π，则这个正三棱柱的体积为

54

．

Answer 1

分析：由球的表面积求出半径，从而得棱柱的高；由球与正三棱柱的三个侧面相切，得球的半径和棱柱底面正△边长的关系，求出边长，即求出底面正△的面积；得出棱柱的体积．

解答：解：由球的表面积公式，得4πR²=12π，
∴R=

3

．
∴正三棱柱的高h=2R=2

3

．
设正三棱柱的底面边长为a，则其内切圆的半径为：

1

3

•

3

2

a=

3

，
∴a=6．
∴该正三棱柱的体积为：V=S_底•h=

1

2

•a•a•sin60°•h=

3

4

×6×6×2

3

=54．
故答案为：54

点评：本题考查了球的表面积，柱体体积公式的应用；本题的解题关键是求底面边长．