Question

某校对新扩建的校园进行绿化，移栽香樟和桂花两种大树各2株，若香樟的成活率为

4

5

，桂花的成活率为

3

4

，假设每棵树成活与否是相互独立的．求：
（Ⅰ）两种树各成活一株的概率；
（Ⅱ）设ξ表示成活的株数，求ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

分析：（I）利用n次独立重复试验事件发生k次的概率公式求出“香樟成活一株”和“桂花成活一株”的概率；利用相互独立事件同时发生的概率乘法公式求出两种树各成活一株的概率．
（II）判断出ξ可取得值，利用互斥事件的概率公式及相互独立事件同时发生的概率公式求出随机变量取每一个值的概率；
列出分布列；利用随机变量的期望公式求出ξ的期望．

解答：解：（Ⅰ）记“香樟成活一株”为事件A，“桂花成活一株”为事件B．
则事件“两种树各成活一株”即为事件A•B.P(A)=

C

1 2

•

4

5

•

1

5

=

8

25

，P(B)=

C

1 2

•

3

4

•

1

4

=

3

8

由于事件A与B相互独立，
因此，P(A•B)=P(A)•P(B)=

3

25

．（5分）
（Ⅱ）ξ表示成活的株数，
因此ξ可能的取值有0，1，2，3，4．
P(ξ=0)=(

1

5

)2•(

1

4

)2=

1

400

；（6分）
P(ξ=1)=

C

1 2

•

4

5

•

1

5

•(

1

4

)2+

C

1 2

•

3

4

•

1

4

•(

1

5

)2=

14

400

=

7

200

；（7分）P(ξ=2)=

3

25

+(

4

5

)2•(

1

4

)2+(

1

5

)2•(

3

4

)2=

73

400

；（8分）P(ξ=3)=

C

1 2

•

4

5

•

1

5

•(

3

4

)2+

C

1 2

•

3

4

•

1

4

•(

4

5

)2=

168

400

=

21

50

；（9分）
P(ξ=4)=(

4

5

)2•(

3

4

)2=

144

400

=

9

25

．（10分）
ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3	4
P	1 400	7 200	73 400	21 50	144 400

因此，Eξ=1×

14

400

+2×

73

400

+3×

168

400

+4×

144

400

=3.1（12分）

点评：本题考查相互独立事件同时发生的概率乘法公式、考查互斥事件的概率和公式、考查随机变量的分布列的求法、考查随机变量的期望公式．