精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知定义域为R的单调函数f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=
x3
-2x

(1)求f(x)的解析式;
(2)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求实数k的取值范围.
分析:(1)由定义域为R的函数f(x)是奇函数,知f(0)=0.当x<0时,f(-x)=
-x
3
-2-x
,由函数f(x)是奇函数,知f(x)=
x
3
+2-x
,由此能求出f(x)的解析式.
(2)由f(1)=-
5
3
<f(0)=0
且f(x)在R上单调,知f(x)在R上单调递减,由f(t2-2t)+f(2t2-k)<0,得f(t2-2t)<-f(2t2-k),再由根的差别式能求出实数k的取值范围.
解答:解:(1)∵定义域为R的函数f(x)是奇函数,
∴f(0)=0,
当x<0时,-x>0,
f(-x)=
-x
3
-2-x

又∵函数f(x)是奇函数,
∴f(-x)=-f(x),
f(x)=
x
3
+2-x

综上所述f(x)=
x
3
-2x
(x>0) 
0(x=0) 
x
3
+2-x
(x<0) 

(2)∵f(1)=-
5
3
<f(0)=0

且f(x)在R上单调,
∴f(x)在R上单调递减,
由f(t2-2t)+f(2t2-k)<0,
得f(t2-2t)<-f(2t2-k),
∵f(x)是奇函数,
∴f(t2-2t)<f(k-2t2),
又∵f(x)是减函数,
∴t2-2t>k-2t2
即3t2-2t-k>0对任意t∈R恒成立,
∴△=4+12k<0得k<-
1
3
即为所求.
点评:本题考查函数的恒成立问题,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化,同时注意函数性质的灵活运用.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知定义域为R的单调函数f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=
x3
-2x
(I)求f(-1)的值;
(II)求f(x)的解析式;
(III)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求实数k的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2012-2013学年安徽省安庆市宿松县复兴中学高一(上)第一次月考数学试卷(解析版) 题型:解答题

已知定义域为R的单调函数f(x)是奇函数,当x>0时,
(1)求f(x)的解析式;
(2)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求实数k的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2011-2012学年福建省“华安、连城、永安、漳平一中、龙海二中、泉港一中”六校联考高一(上)第一次月考数学试卷(解析版) 题型:解答题

已知定义域为R的单调函数f(x)是奇函数,当x>0时,
(1)求f(x)的解析式;
(2)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求实数k的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2010-2011学年浙江省温州市十校联合体高一(上)期中数学试卷(解析版) 题型:解答题

已知定义域为R的单调函数f(x)是奇函数,当x>0时,
(1)求f(x)的解析式;
(2)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求实数k的取值范围.

查看答案和解析>>

同步练习册答案