Question

如图，在矩形ABCD中，AB=

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BC，E为AD的中点，将△ABE沿BE折起，使平面ABE⊥平面BCDE．
（1）求证：CE⊥AB；
（2）在线段BC上找一点F，使DF∥平面ABE．

Answer 1

分析：（1）根据题意证出CE⊥BE，利用面面垂直的判定定理得出CE⊥平面ABE，结合AB?平面ABE，可得CE⊥AB；
（2）取线段BC的中点F，连结DF．根据ED、BF平行且相等，得四边形BEDF是平行四边形，从而DF∥BE，利用线面平行判定定理，即可证出DF∥平面ABE．

解答：解：（1）∵矩形ABCD中，AB=

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BC，E为AD的中点，
∴△ABE是等腰直角三角形，AE=AB，∠AEB=45°
同理可得DE=DC，∠DEC=45°，可得CE⊥BE
∵平面ABE⊥平面BCDE，平面ABE∩平面BCDE=BE
∴CE⊥平面ABE，
∵AB?平面ABE，∴CE⊥AB；
（2）取线段BC的中点F，连结DF
∵ED∥BF且ED=BF，∴四边形BEDF是平行四边形
可得DF∥BE
又∵DF?平面ABE，BE?平面ABE，
∴DF∥平面ABE，即在线段BC上存在中点F，满足DF∥平面ABE．

点评：本题给出平面图形的翻折，求证折出的几何体中线面平行与线线垂直．着重考查了空间平行、垂直位置关系的判定与证明等知识，属于中档题．