Question

5．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O为正方形ABCD的中心，则D₁O与平面ADD₁A₁所成的角的余弦值为$\frac{\sqrt{30}}{6}$．

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出D₁O与平面ADD₁A₁所成的角的余弦值．

解答 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱长为2，
则O（1，1，0），D₁（0，0，2），$\overrightarrow{{D}_{1}O}$=（1，1，-2），
平面ADD₁A₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），
设D₁O与平面ADD₁A₁所成的角为θ，
则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{{D}_{1}O}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{{D}_{1}O}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{{D}_{1}O}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{6}}$，
cosθ=$\sqrt{1-（\frac{1}{\sqrt{6}}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{30}}{6}$．
∴D₁O与平面ADD₁A₁所成的角的余弦值为$\frac{\sqrt{30}}{6}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{30}}{6}$．

点评 本题考查线面角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．