Question

15．已知全集U=R，集合A={x|x²-3x+2≤0}，B={x|x²-2ax+a≤0，a∈R}．
（1）当A∩B=A时，求a的取值范围；
（2）当A∪B=A时，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当A∩B=A时，A⊆B，构造函数，建立不等式，即可求a的取值范围；
（2）当A∪B=A时，得B⊆A，构造函数，分类讨论求a的取值范围．

解答 解：（1）A=[1，2]，…（1分，）
当A∩B=A时，A⊆B，
记f（x）=x²-2ax+a
由$\left\{\begin{array}{l}f（1）≤0\\ f（2）≤0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}1-2a+a≤0\\ 4-4a+a≤0\end{array}\right.$，得$a≥\frac{4}{3}$．
即a的取值范围是$[\frac{4}{3}，+∞）$．…（4分）
（2）由A∪B=A，得B⊆A．
记f（x）=x²-2ax+a．
①当△=（-2a）²-4a＜0，即0＜a＜1时，B=∅，满足题意； …（5分）
②当△=0即a=0或a=1时，
若a=0，则B={x|x²≤0}={0}，不合题意；…（6分）
若a=1，则B={x|（x-1）²≤0}={1}⊆A，满足题意；  …（7分）
③当△＞0时，f（x）=x²-2ax+a的图象与x轴有两个不同交点．
由B⊆A，知方程x²-2ax+a=0的两根位于1，2之间．
从而$\left\{\begin{array}{l}△=4{a^2}-4a＞0\\ 1＜a＜2\\ f（1）≥0\\ f（2）≥0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}a＜0或a＞1\\ 1＜a＜2\\ a≤1\\ a≤\frac{4}{3}\end{array}\right.$，故a∈∅．…（11分）
综上，a的取值范围是（0，1]．…（12分）

点评 本题考查集合的关系与运算，考查分类讨论的数学思想，正确转化是关键．