Question

19．等差数列{a_n}中，a₂=6，2a₃=a₁+a₄+3．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{{{3^{n-1}}}}{n}•{a_n}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过设等差数列{a_n}的公差为d，利用a₂=6代入2a₃=a₁+a₄+3计算可知d=3，进而计算可得结论；
（Ⅱ）通过（1）代入计算可知数列{b_n}是以首项、公比均为3的等比数列，进而计算可得结论．

解答 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵2a₃=a₁+a₄+3，
∴2（6+d）=6-d+6+2d+3，
解得：d=3，a₁=a₂-d=6-3=3，
∴数列{a_n}是以首项、公差均为3的等差数列，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=3n；
（Ⅱ）由（1）可知a_n=3n，则b_n=$\frac{{3}^{n-1}}{n}$•a_n=$\frac{{3}^{n-1}}{n}$•3n=3ⁿ，
∴数列{b_n}是以首项、公比均为3的等比数列，
∴S_n=$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$=$\frac{3}{2}$•（3ⁿ-1）．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于基础题．