Question

已知函数f(x)＝(b，c∈N*)．若方程f(x)＝x有且只有两个相异根0，2，且f(－2)＜－，

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)已知各项不为1的数列{a_n}满足4S_n·f()＝1，求数列通项a_n；

(3)如果数列{a_n}满足a₁＝4，a_n+1＝f(a_n)，求证：当n≥2时，恒有a_n＜3成立．

Answer 1

答案：
解析：

解　　(1)设＝x(1－b)x2＋cx＋a＝0 　　 　　由f(－2)＝c＜3． 　　又b，c∈N*，∴c＝2，b＝c，∴f(x)＝(x≠1)． 　　(2)由已知2Sn＝an－，∴2Sn－1＝an－1－． 　　相减得(an＋an－1)(an－an－1＋1)＝0， 　　∴an＝－an－1，或an－an－1＝－1． 　　当n＝1时，2a1＝a1－a1＝－1．若an＝－an－1，则a2＝1， 　　这与an≠1矛盾，∴an－an－1＝－1，∴an＝－n． 　　(3)由an+1＝f(an)an+1＝ 　　∴an+1＜0或an+1≥2． 　　若an+1＜0，则an+1＜3成立； 　　若an+1≥2，则an+1－an＝≤0． 　　∴{an}在n≥2时单调递减． 　　∵a2＝，可知an≤a2＝＜3在n≥2时成立．