Question

选修4—1：几何证明选讲
D、E分别为△ABC的边AB、AC上的点，且不与△ABC的顶点重合。已知AE的长为，AC的长为,AD、AB的长是关于的方程的两个根。
（1）证明：C、B、D、E四点共圆；
（2）若∠A=90°，且，求C、B、D、E所在圆的半径。

Answer 1

（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，
                
即.又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB 因此∠ADE=∠ACB                                 
所以C,B,D,E四点共圆。
（Ⅱ）m="4," n=6时，方程x²-14x+mn=0的两根为x₁=2,x₂=12.故  AD=2，AB=12.
取CE的中点G,DB的中点F，分别过G,F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.
由于∠A=90⁰，故GH∥AB, HF∥AC. HF=AG=5，DF= （12-2）=5.
故C,B,D,E四点所在圆的半径为5

（（I）做出辅助线，根据所给的AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x²-14x+mn=0的两个根，得到比例式，根据比例式得到三角形相似，根据相似三角形的对应角相等，得到结论．
（II）根据所给的条件做出方程的两个根，即得到两条线段的长度，取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH，根据四点共圆得到半径的大小．
解：（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，
AD×AB=mn=AE×AC，

即
又∠DAE=∠CAB，从而△ADE∽△ACB
因此∠ADE=∠ACB
∴C，B，D，E四点共圆．
（Ⅱ）m=4，n=6时，方程x²-14x+mn=0的两根为x₁=2，x₂=12．
故AD=2，AB=12．
取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH．
∵C，B，D，E四点共圆，
∴C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH．
由于∠A=90°，故GH∥AB，HF∥AC．HF=AG=5，DF=（12-2）=5．
故C，B，D，E四点所在圆的半径为5