Question

如图，某纸箱厂用矩形硬纸板（PQST）割去四个矩形角，设计为按虚线折叠成的长方体纸箱．其中矩形ABCD为长方体的下底面，两全等矩形EFNM、HGNM拼成长方体纸箱盖，设纸箱长AB为x．
（Ⅰ）若长方体纸箱的长、宽、高分别为80cm、50cm、40cm、则硬纸板PQST的长、宽应为多大？
（Ⅱ）若硬纸板PQST的长PT=240cm，宽TS=150cm，按此设计，当纸箱的长AB为何值时，纸箱体积最大？并计算最大体积．

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意：PQ=AB+2H₁A=80+2×40=160（cm），
PT=AD+2AH+2HM=2AD+2AH=2×50+2×40=180（cm）．
（Ⅱ）∵PT=240，PQ=150，AB为x（0＜x＜150），
∴AH=AH₁=（TS-AB）=（150-x）．
∵AD=M₁H+EM，AH=DE，
∴AD=（MM₁-2AH）=（PT-2AH）=[240-（150-x）]=45+x，
∴纸箱体积V（x）=x（150-x）（45+x）=-x³+15x²+3375x．
V′（x）=-x²+30x+3375．
令V′（x）=0，x²-40x-4500=0，解得：x₁=90，x₂=-50（不合题意，舍去）．
当x∈（0，90）时，V′（x）＞0，V（x）是增函数；
当x∈（90，150）时，V′（x）＜0，V（x）是减函数，
∴当x=90时，V（x）取到极大值V（90）=243000．
∵V（x）在（0，150）上只有一个极值，所以它是最大值．
∴当纸箱的长AB=90时，纸箱体积最大，最大体积为243000（cm³）．
分析：（Ⅰ）由PQ=AB+2H₁A，PT=AD+2AH+2HM=2AD+2AH，计算可得；
（Ⅱ）设AB为x（0＜x＜150），则AH=AH₁=（TS-AB）=（150-x），AD=（MM₁-2AH）=（PT-2AH）=[240-（150-x）]=45+x，纸箱体积V（x）可表示为x的三次函数，利用求导法可得所求．
点评：本题考查了长方体模型的实际应用，考查了建立三次函数解析式，用导数法求它在定义域上的最值问题，属于较难题目．