精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

已知函数,其中a>0.

(Ⅰ)求函数的单调区间;

(Ⅱ)若直线是曲线的切线,求实数a的值;

(Ⅲ)设,求在区间上的最大值(其中e为自然对的底数)。

 

【答案】

(Ⅰ)函数的单调递增区间为(0,2),递减区间为(-∞,0)和(2,+∞);(Ⅱ);(Ⅲ)在区间上的最大值为0.

【解析】

试题分析:(Ⅰ)求函数的单调区间,首先对函数求导,得函数导函数,直接让导函数大于0,解出大于零的范围,就求出增区间,令导函数小于0,解出小于零的范围,从而求出减区间;(Ⅱ)直线是曲线的切线,由导数的几何意义,利用切线的斜率即为切点处的导数值,以及切点即在直线上,又在曲线上,即为的共同点,联立方程组,解方程组,即可求实数的值;(Ⅲ)求在区间上的最大值,可利用导数来求,先求出的解析式,由的解析式求出的导函数,令的导函数,解出的值,从而确定最大值,由于含有参数,因此需分情况讨论,从而求得其在区间上的最大值.

试题解析:(Ⅰ)①

,则,又的定义域是

∴函数f(x)的单调递增区间为(0,2),递减区间为(-∞,0)和(2,+∞)(4分)

(II)设切点为   解得      7分

(III)      

,则

①当时,单调增加      9分

②当时,单调减少,在单调增加;

时,

时,;        11分

③当时,上单调递减,

综上所述,时,

时,。        14分

考点:利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.

 

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知函数数学公式,其中a>0.
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若直线x-y-1=0是曲线y=f(x)的切线,求实数a的值;
(Ⅲ)设g(x)=xlnx-x2f(x),求g(x)在区间[1,e]上的最大值.(其中e为自然对数的底数)

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知函数数学公式,其中a为大于零的常数.
(I)若函数f(x)在区间[1,+∞)内单调递增,求a的取值范围;
(II)设函数数学公式,若存在x0∈[1,e],使不等式g(x0)≥lnx0成立,求实数p的取值范围.(e为自然对数的底)

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2012-2013学年山东省莱芜市凤城高中高三(上)第三次质量检测数学试卷(文科)(解析版) 题型:解答题

已知函数,其中a>0.
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若直线x-y-1=0是曲线y=f(x)的切线,求实数a的值;
(Ⅲ)设g(x)=xlnx-x2f(x),求g(x)在区间[1,e]上的最大值.(其中e为自然对数的底数)

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2010-2011学年四川省成都外国语学校高三(下)4月月考数学试卷(理科)(解析版) 题型:解答题

已知函数,其中a>0.
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若直线x-y-1=0是曲线y=f(x)的切线,求实数a的值;
(Ⅲ)设g(x)=xlnx-x2f(x),求g(x)在区间[1,e]上的最大值.(其中e为自然对数的底数)

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2011-2012学年湖南省岳阳市炎陵一中高三第六次月考数学试卷(文科)(解析版) 题型:解答题

已知函数,其中a>0.
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若直线x-y-1=0是曲线y=f(x)的切线,求实数a的值;
(Ⅲ)设g(x)=xlnx-x2f(x),求g(x)在区间[1,e]上的最大值.(其中e为自然对数的底数)

查看答案和解析>>

同步练习册答案