Question

自圆x²+y²-2x-4y+4=0外一点P（0，4）向圆引两条切线，切点分别为A，B，则

PA

•

PB

等于

12

5

．

Answer 1

分析：由已知中P是圆C：x²+y²-2x-4y+4=0外的一点，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，我们可以先求出圆心和半径以及|

PC

|，进而表示出|

PA

|=|

PB

|，求出cos∠APB即可求出结论．

解答：解：∵圆C：x²+y²-2x-4y+4=0
可得圆的半径为1，C（1，2），连接CA，CP，CB如下图所示：
由条件得：|

PC

|=

(1-0) 2+(2-4) 2

=

5

，
则|

PA

|=|

PB

|=

PC 2-AC2

=2．
∴cos∠APB=cos2∠APC=1-2sin²∠APC=1-2•（

1

5

）²=

3

5

∴

PA

•

PB

=|

PA

|•|

PB

|•cos∠APB=2×2×

3

5

=

12

5

．
故

PA

•

PB

等于

12

5

．
故答案为：

12

5

．

点评：本题考查的知识点是向量在几何中的应用，其中根据已知条件，得到

PA

•

PB

的表达式，是解答本题的关键．