Question

(本小题满分16分)知函数f(x)＝ax³＋bx²＋cx＋d(a、b、c、dR)，且函数f(x)的图象关于原点对称，其图象x＝3处的切线方程为8x－y－18＝0.

(1)求f(x)的解析式；

(2)是否存在区间，使得函数f(x)的定义域和值域均为？若存在，求出这样的一个区间；若不存在，则说明理由；

(3)若数列｛a_n｝满足：a₁≥1，a_n+1≥，试比较＋＋＋…＋与1的大小关系，并说明理由.

Answer 1

 (1)∵f(x)的图像关于原点对称，

∴f(－x)＋f(x)＝0恒成立，    即2bx²＋2d≡0，∴b＝d＝0……………………2分

又f(x)的图像在x＝3处的切线方程为8x－y－18＝0，即 y－6＝8(x－3)，

∴f '(3)＝8，且f(3)＝6, 而f(x)＝ax³＋cx，∴f '(x)＝3ax²＋c

                                   ……………………4分

解得   故所求的解析式为f(x)＝x³－x            ……………5分

(2)解　，得x＝0或x＝± ……………………6分

又f '(x)＝x²－1，由f '(x)＝0得x＝±1，

且当x∈[－，－1]或x∈[1，]时，f '(x)>0；

当x∈[－1，1]时 f '(x)< 0

∴f(x)在[－，－1]和[1，]上分别递增；在[—1,1]递减.

∴f(x)在[－，]上的极大值和极小值分别为f(－1)＝ ，f(1)＝－ ………8分

而－<－<　 <

故存在这样的区间，其中一个区间为[－，]  ……………………10分

(3)由(2)知f ' (x)＝x²－1，∴a_n+1≥(a_n＋1)²－1

而函数y＝(x＋1)²—1＝x²＋2x在[1,+∞)单调递增，

∴由a_l≥1，可知，a₂≥(a_l＋1)²—1＝2²—l；进而可得a₃≥(a₂＋1)²—1≥2³—1；…

由此猜想a_n≥2ⁿ—1.                                     …………………12分

下面用数学归纳法证明：

①当n＝1时，a_l≥1＝2¹－1，结论成立

②假设n＝k时有a_k≥2^k－1，

则当n＝k＋1时，

由f(x)＝x²＋2x在[1,+∞)上递增可知，

a_k+1≥(a_k＋1)²－1≥(a_k－1＋1)²－1＝2^k+1－1，

即n=k+1时结论成立                              …………………14分

∴对任意的n∈N⁺都有a_n≥2ⁿ—1，即1+a_n≥2ⁿ，    ∴≤

∴＋＋＋…＋≤＋＋＋…＋

＝＝1－（）ⁿ<l

故　＋＋＋…＋<l        ……………………16分