Question

1．已知函数f（x）=log₂x，若常数M满足：对于?x₁∈[1，2²⁰¹⁶]，?唯一的x₂∈[1，2²⁰¹⁶]，使得f（x₁）-M=M-f（x₂）成立，则M=1008．

Answer 1

分析 由题意可得，M=$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]，根据f（x）=log₂x，x∈[1，2²⁰¹⁶]，是单调增函数，即可求出M的值．

解答 解答：解：∵对于?x₁∈[1，2²⁰¹⁶]，?唯一的x₂∈[1，2²⁰¹⁶]，f（x₁）-M=M-f（x₂），
∴M=$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]，
∵f（x）=log₂x，x∈[1，2²⁰¹⁶]，是单调增函数，
∴M=$\frac{1}{2}$（log₂1+log₂2²⁰¹⁶）=1008，
故答案为：1008

点评 本题主要应用新定义的方式考查平均值不等式在函数中的应用．对于新定义的问题，需要认真分析定义内容，切记不可偏离题目．