Question

过抛物线y²=8x的焦点作倾斜角45°的直线，则被抛物线截得的弦长为（　　）

• A、8
• B、16
• C、32
• D、64

Answer 1

分析：求出抛物线的焦点为F（2，0），直线的斜率k=tan45°=1，从而得到直线的方程为y=x-2．直线方程与抛物线方程联解消去y得x²-12x+4=0，利用根与系数的关系可得x₁+x₂=12，再根据抛物线的定义加以计算，即可得到直线被抛物线截得的弦长．

解答：解：∵抛物线方程为y²=8x，2p=8，

p

2

=2，∴抛物线的焦点是F（2，0）．
∵直线的倾斜角为45°，∴直线斜率为k=tan45°=1
可得直线方程为：y=1×（x-2），即y=x-2．
设直线交抛物线于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联解

y=x-2 y2=8x

，消去y得x²-12x+4=0，
∴x₁+x₂=12，
根据抛物线的定义，可得|AF|=x₁+

p

2

=x₁+2，|BF|=x₂+

p

2

=x₂+2，
∴|AB|=x₁+x₂+4=12+4=16，即直线被抛物线截得的弦长为16．
故选：B

点评：本题给出经过抛物线的焦点的直线倾斜角为45°，求直线被抛物线截得的弦长．着重考查了抛物线的定义与标准方程、一元二次方程根与系数的关系、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中档题．