Question

已知椭圆的右焦点F（1，0），离心率为．过点F的直线l交椭圆C于A，B两点，且．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求直线l的斜率的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用椭圆的离心率公式、关系式a²=b²+c²即可得出a、b，进而得到椭圆的标准方程；
（2）把直线的方程与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系及已知条件即可得出斜率的取值范围．
解答：解：（1）由已知得：，
∴a=2，b²=a²-c²=3，
∴椭圆C的方程为
（2）设直线l的方程为y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由，
得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
∵直线l过焦点F，∴△＞0，
且，
∴，
同理，
故|FA|•|FB|=（1+k²）|（x₁-1）（x₂-1）|=．
由，∴，解得0≤k²≤2．
所以直线l的斜率k的取值范围是．
点评：熟练掌握椭圆的定义及性质、直线与椭圆的相交问题的解题方法、根与系数的关系、不等式的解法是解题的关键．