Question

如图，在以点为圆心，为直径的半圆中，，是半圆弧上一点，，曲线是满足为定值的动点的轨迹，且曲线过点.

（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线的方程；

（Ⅱ）设过点的直线l与曲线相交于不同的两点、

若△的面积不小于，求直线斜率的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）(Ⅱ) [-，-1]∪（-1， 1）∪（1，）.

【解析】(I)先建系，然后根据为定值,可确定点M的轨迹是双曲线，

然后按照求双曲线标准方程的方法求解即可.

(II) 先设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理得（1-k²）x²-4kx-6=0.

根据条件可知 ,从而得到k的取值范围.

再利用弦长公式和韦达定理用k表示出|EF|,再利用点到直线的距离公式求出原点O到直线l的距离，从而表示出三角形的面积，这样三角形的面积就表示成了关于k的函数，

再根据,得到关于k的不等式，从而解出k的取值范围，再与前面k的取值范围求交集即可.

（Ⅰ）解法1：以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则A（-2，0），B（2，0），D(0,2),P（），依题意得

｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜＝＜｜AB｜＝4.

∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.

设实平轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，

则c＝2，2a＝2，∴a²=2,b²=c²-a²=2.∴曲线C的方程为.

解法2：同解法1建立平面直角坐标系，则依题意可得｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜＜

｜AB｜＝4.

∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.

设双曲线的方程为＞0，b＞0）.

则由解得a²=b²=2,∴曲线C的方程为

(Ⅱ)解法1：依题意，可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理得（1-k²）x²-4kx-6=0.

∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，

∴ 　　

∴k∈（-,-1）∪（-1，1）∪（1，）.

设E（x，y），F(x₂,y₂)，则由①式得x₁+x₂=,于是

｜EF｜＝

＝

而原点O到直线l的距离d＝，

∴S_△DEF=

若△OEF面积不小于2,即S_△OEF，则有

        ③

综合②、③知，直线l的斜率的取值范围为[-，-1]∪(1-,1) ∪(1, ).

解法2：依题意，可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理，

得（1-k²）x²-4kx-6=0.

∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，

∴ 　　

∴k∈（-，-1）∪（-1，1）∪（1，）.

设E(x₁,y₁),F(x₂,y₂),则由①式得

｜x₁-x₂｜=           ③

当E、F在同一去上时（如图1所示），

S_△OEF＝

当E、F在不同支上时（如图2所示）.

S_△ODE=

综上得S_△OEF＝于是

由｜OD｜＝2及③式，得S_△OEF=

若△OEF面积不小于2

     　④

综合②、④知，直线l的斜率的取值范围为[-，-1]∪（-1， 1）∪（1，）.