Question

函数f（x）是满足f（

1

2

+x）=f（

1

2

-x）的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=-2x²+2x，则f(-

5

2

)=

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由已知中奇函数f（x）是满足f（

1

2

+x）=f（

1

2

-x），可得函数f（x）是以2为周期的周期函数，故f(-

5

2

)=f(-

1

2

)=-f（

1

2

），结合当0≤x≤1时，f（x）=-2x²+2x，可得答案．

解答： 解：∵当0≤x≤1时，f（x）=-2x²+2x，
∴f（

1

2

）=

1

2

，
∵奇函数f（x）是满足f（

1

2

+x）=f（

1

2

-x），
∴f（x+2）=f（

1

2

+（x+

3

2

））=f（

1

2

-（x+

3

2

））=f（-x-1）=-f（x+1）=-f（

1

2

+（x+

1

2

））=-f（

1

2

-（x+

1

2

））=-f（-x）=f（x），
即函数f（x）是以2为周期的周期函数，
故f(-

5

2

)=f(-

1

2

)=-f（

1

2

）=-

1

2

，
故答案为：-

1

2

点评：本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的对称性质，函数的周期性，函数求值，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．