Question

10．函数f（x）的图象是由函数g（x）=sinxcosx的图象上点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的$\frac{1}{2}$，再整体向右平移$\frac{π}{12}$个单位得到的．
（1）写出函数f（x）的解析式，并求它的最小正周期；
（2）求函数f（x）在[0，$\frac{π}{4}$]上最大值与最小值，及相应的x值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用二倍角的正弦公式化简g（x）的解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得f（x）的解析式，从而求得它的最小正周期．
（2）根据x∈[0，$\frac{π}{4}$]，利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）在[0，$\frac{π}{4}$]上最大值与最小值，及相应的x值．

解答 解：（1）把函数g（x）=sinxcosx=$\frac{1}{2}$sin2x 的图象上点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的$\frac{1}{2}$，可得y=$\frac{1}{2}$sin4x的图象；
再整体向右平移$\frac{π}{12}$个单位，可得函数f（x）=$\frac{1}{2}$sin4（x-$\frac{π}{12}$）=$\frac{1}{2}$sin（4x-$\frac{π}{3}$）的图象，
故f（x）的最小正周期为$\frac{2π}{4}$=$\frac{π}{2}$．
（2）∵x∈[0，$\frac{π}{4}$]，∴4x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
故当4x-$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{3}$，即x=0时，f（x）取得最小值为-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
当4x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{5π}{24}$时，f（x）取得最大值为$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查二倍角的正弦公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．