Question

7．设P：c²-c-2＜0；q：函数y=x²-2cx+1在[$\frac{1}{2}$，+∞）上为增函数，若“p∧q”为假，“p∨q”为真，求实数c的取值范围．

Answer 1

分析 分别求出关于p，q成立的c的范围，根据p∧q”为假，“p∨q”为真，通过讨论p，q的真假，得到关于c的不等式组，解出即可．

解答 解：∵P：c²-c-2＜0，
∴-1＜c＜2；
又∵q：函数y=x²-2cx+1在[$\frac{1}{2}$，+∞）上为增函数，
∴对称轴x=c≤$\frac{1}{2}$，
若“p∧q”为假，“p∨q”为真，
则p，q一真一假，
p真q假时：$\left\{\begin{array}{l}{-1＜c＜2}\\{c＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得：$\frac{1}{2}$＜c＜2，
p假q真时：$\left\{\begin{array}{l}{c≥2或c≤-1}\\{c≤\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得：c≤-1，
故c∈（-∞，-1]∪（$\frac{1}{2}$，2）．

点评 本题考查了复合命题的判断，考查二次函数的性质，是一道基础题．