Question

已知：圆O₁过点（0，1），并且与直线y=-l相切，则圆O₁的轨迹为C，过一点A（l，1）作直线l，直线l与曲线C交于不同两点M、N，分别在M、N两点处作曲线C的切线l₁，l₂，直线l₁，l₂的交点为K．
（I）求曲线C的轨迹方程；
（Ⅱ）求证：直线l₁，l₂的交点K在一条直线上，并求出此直线方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用抛物线的定义即可得出；
（Ⅱ）利用导数的几何意义得到切线的斜率，联立切线的方程即可得到其交点K的坐标，再把直线MN的方程与抛物线的方程联立，得到根与系数的关系，代入交点K的消去参数即可得到交点K的轨迹方程．

解答：解：（Ⅰ）由题意和抛物线的定义可得：曲线C的轨迹是抛物线：x²=4y．
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
直线MN的方程为：y-1=k（x-1）．
由x²=4y，得到y′=

x

2

，
∴过点M处的切线方程为y-y1=

x1

2

(x-x1)，化为x₁x=2（y+y₁），
同理在点N处的切线方程为x₂x=2（y+y₂），
解得K点的坐标为(

x1+x2

2

，

x1x2

4

)．
联立

y-1=k(x-1) x2=4y

得到x²-4kx+4k-4=0，
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=4k-4．
∴x_K=2k，y_k=k-1，
消去k得到点K所在的直线方程为：x-2y-2=0．

点评：熟练掌握圆锥曲线的定义、导数的几何意义、点斜式、直线与抛物线相交问题的解题模式、根与系数的关系是解题的关键．