Question

(12分) 若二次函数f(x)=ax²+bx+c(a≠0)的图象关于y轴对称，
且f(-2)＞f(3)，设m＞-n＞0.
(1) 试证明函数f(x)在(0，+∞)上是减函数；
(2) 试比较f(m)和f(n)的大小，并说明理由.

Answer 1

（1）见解析；（2）f(m)＜f(n).

（1）∵f(x)=ax²+bx+c(a≠0)的图象关于y轴对称，
∴对任意x∈R，恒有f(-x)=f(x)，即a(-x)²+b(-x)+c=ax²+bx+c恒成立，
据此可求出b="0." f(x)=ax²+c.再根据f(-2)＞f(3),且f(-2)=f(2),
得f(2)＞f(3),因而a<0.且f(x)在(0，+∞)上是减函数..
（2）∵m＞-n＞0,∴f(m)＜f(-n).,再根据f(-n)=f(n)，可得f(m)＜f(n)..
∵f(x)=ax²+bx+c(a≠0)的图象关于y轴对称，
∴对任意x∈R，恒有f(-x)=f(x)，
即a(-x)²+b(-x)+c=ax²+bx+c恒成立.
∴2bx=0对任意x∈R恒成立.
∴b=0.
∴f(x)=ax²+c.
∵f(-2)＞f(3),且f(-2)=f(2),
∴f(2)＞f(3).
∴a<0.且f(x)在(0，+∞)上是减函数.
又∵m＞-n＞0,
∴f(m)＜f(-n).
而f(-n)=f(n)，
∴f(m)＜f(n).