Question

函数
（1）当a=-4时，求函数f（x）的最大值；
（2）设，且f（x）≤-ag（x）在上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵a=-4
∴
=cos2x-4（1-cos（x-））
=1-2sin²x+4sinx-4
=-2（sinx-1）²-1，
∵x∈[，]，
∴≤sinx≤1，当sinx=1时，f（x）取得最大值-1，
∴函数f（x）的最大值为-1；
（2）∵，且f（x）≤-ag（x）在上恒成立，
∴-a（sinx-a）≥f（x）=cos2x+a[1-sinx]在上恒成立，
即a²-a≥cos2x，x∈[，]恒成立，
而x∈[，]时，（cos2x）_max=cos=，
∴即a²-a≥，
∴a≥1或a≤-．
实数a的取值范围为（-∞，-]∪[1，+∞）．
分析：（1）当a=-4时，利用三角函数公式可将f（x）化为：f（x）=-2（sinx-1）²-1，x∈[，]，从而可求函数f（x）的最大值；
（2）由，且f（x）≤-ag（x）可得a²-a≥cos2x，x∈[，]恒成立，从而可求得实数a的取值范围．
点评：本题考查三角函数的化简求值，难点在于（2）含参数的条件的转化与应用，突出考查三角函数公式的综合运用与恒成立问题，属于难题．