Question

7．已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形，又PD⊥底面 ABCD，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点．
（1）证明：DN∥平面PMB；
（2）证明：平面PMB⊥平面PAD；
（3）直线PB与平面PCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取PB中点Q，连结MQ、NQ，利用三角形中位线定理和菱形的性质，证出DN∥MQ．利用线面平行判定定理，即可证出DN∥平面PMB；
（2）由菱形ABCD中∠A=60°，得到△ABD是正三角形，从而MB⊥AD．由PD⊥底ABCD得到PD⊥MB，利用线面垂直的判定定理，证出MB⊥平面PAD，结合面面垂直判定定理可得平面PMB⊥平面PAD；
（3）证明△BCD为等边三角形，设CD中点为E，连接PE，DE，可得∠PBE为直线PB与平面PCD所成角．

解答 （1）证明：取PB中点Q，连结MQ、NQ，
因为M、N分别是棱AD、PC中点，
所以QN∥BC∥MD，且QN=MD，于是DN∥MQ．
∵MQ?平面PMB，DN?平面PMB
∴DN∥平面PMB；…（5分）
（2）证明：∵PD⊥底ABCD，MB?平面ABCD，
∴PD⊥MB
又∵底面ABCD为菱形，∠A=60°且M为AD中点，
∴MB⊥AD．
又∵AD、PD是平面PAD内的相交直线，∴MB⊥平面PAD．
∵MB?平面PMB，∴平面PMB⊥平面PAD； …（8分）
（3）解：设CD中点为E，连接PE，DE，
∵底面ABCD是∠A=60°、边长为a 的菱形
∴△BCD是等边三角形，
∴BE⊥DC，
∵PD⊥底面 ABCD，
∴PD⊥BE，
∴BE⊥平面PCD，
∴∠PBE为直线PB与平面PCD所成角，
∵BE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，PA=$\sqrt{2}a$，
∴sin∠BPE=$\frac{\sqrt{6}}{4}$…（12分）

点评 本题给出特殊的四棱锥，求证线面平行、面面垂直并求直线与平面所成的角，着重考查了空间平行、垂直位置关系的判断与证明和空间角的求法等知识，属于中档题．