Question

（07年北师大附中）  已知函数f (x ) = x⁴－4x³ + ax²－1在区间[0，1]单调递增，在区间[1，2单调递减.

（1）求a的值；

（2）若点A (x₀，f (x₀))在函数f (x )的图像上，求证点A关于直线x = 1的对称点B也在函数f (x )的图像上；

（3）是否存在实数b，使得函数g (x ) = bx²－1的图像与函数f (x )的图像恰有3个交点，若存在，请求出实数b的值；若不存在，试说明理由.

Answer 1

解析：（1）由函数f (x ) = x⁴－4x³ + ax²－1在区间[0，1单调递增，在区间[1，2单调递减，

∴ x = 1时，取得极大值，

∴ (1 ) = 0，( x ) = 4x³－12x² + 2ax，

∴ 4－12 + 2a = 0     a = 4.

（2）点A (x₀，f (x₀))关于直线x = 1的对称点B的坐标为 (2－x₀，f (x₀))，

f (2－x₀) = (2－x₀)⁴－4(2－x₀)³ + 4 (2－x₀)²－1

                     = (2－x₀)²[(2－x₀)－2]²－1

                     =－4+ a－1 = f (x₀)，

∴ A关于直线x = 1的对称点B也在函数f (x )的图像上.

（3）函数g (x ) = bx²－1的图像与函数f (x )的图像恰有3个交点，等价于方程x⁴－4x³ + 4x²－1 = bx²－1恰有3个不等实根，

x⁴－4x³ + 4x²－1 = bx²－1 x⁴－4x³ + (4－b)x² = 0.

∵ x = 0是其中一个根，

∴ 方程x⁴－4x³ + (4－b)x² = 0有两个非零不等实根，

， b＞0且b≠4.