Question

如图，一圆形靶分成A，B，C三部分，其面积之比为1：1：2．某同学向该靶投掷3枚飞镖，每次1枚．假设他每次投掷必定会中靶，且投中靶内各点是随机的．
（Ⅰ）求该同学在一次投掷中投中A区域的概率；
（Ⅱ）设x表示该同学在3次投掷中投中A区域的次数，求x的分布列及数学期望；
（Ⅲ）若该同学投中A，B，C三个区域分别可得3分，2分，1分，求他投掷3次恰好得4分的概率．

Answer 1

分析：（1）题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出满足条件A的区域面积和总面积之间的关系，再根据几何概型计算公式给出答案；（2）根据（1）中投中A区域的概率，不难列出x的分布列并进行数学期望；（3）考查的是古典概型，我们可以列举出三次投掷总的基本事件个数及恰得4分的事件个数，代入古典概型计算公式求解．

解答：解：（Ⅰ）设该同学在一次投掷中投中A区域的概率为P（A），
依题意，P(A)=

1

4

．
（Ⅱ）依题意知，X～B(3，

1

4

)，P(X=k)=

C

k n

(

1

4

)k(1-

1

4

)n-k（k=0，1，2，3）
从而X的分布列为：

EX=np=

3

4

（Ⅲ）设B_i表示事件“第i次击中目标时，击中B区域”，C_i表示事件“第i次击中目标时，击中C区域”，i=1，2，3．
依题意知P=P(B1C2C3)+P(C1B2C3)+P(C1C2B3)=3×

1

4

×

1

2

×

1

2

=

3

16

．

点评：求古典概型的概率的基本步骤为：（1）算出所有基本事件的个数n．（2）求出事件A包含的所有基本事件数m．（3）代入公式，求出P（A）．几何概型中的三种基本度量为长度、面积和体积，在解题时要准确把握，要把问题向它们作合理地转化，要注意古典概型与几何概型的区别（基本事件的有限性和无限性），正确选用几何概型解题．