Question

已知直线l₁为曲线y=f（x）=x²-x+2在点（1，2）处的切线，l₂为该曲线的另外一条切线，且l₁⊥l₂．
求（1）直线l₁，l₂的方程；
（2）求由直线l₁、l₂及x轴所围成的三角形的面积．

Answer 1

考点：直线的截距式方程,二次函数的性质

专题：导数的概念及应用,直线与圆

分析：（1）由y=f（x），求出f′（x），得出直线l₁的斜率k₁，求出直线l₁的方程，再求出直线l₂的方程；
（2）画出直线l₁、l₂及x轴所围成的三角形图形，结合图形，求出三角形的面积．

解答： 解：（1）∵y=f（x）=x²-x+2，
∴f′（x）=2x-1，
当x=1时，直线l₁的斜率为
k₁=f′（1）=2×1-1=1；
∴直线l₁的方程为y-2=1×（x-1），
即x-y+1=0；
又∵l₁⊥l₂，
∴k₂=2x-1=-1，
解得x=0，
∴y=f（0）=2，
直线l₂的方程为y-2=-1×（x-0），
即x+y-2=0；
（2）由直线l₁、l₂及x轴所围成的三角形如图所示；

由

x-y+1=0 x+y-2=0

得A（

1

2

，

3

2

），
由

x-y+1=0 y=0

得B（-1，0），
由

x+y-2=0 y=0

得C（2，0）；
∴S_△ABC=

1

2

|BC|•y_A=

1

2

×|2-（-1）|×

3

2

=

9

4

．

点评：本题考查了直线方程的应用问题，也考查了利用导数求曲线的切线问题，是综合性题目．