Question

已知M（a，b），N（sinωx，cosωx）（ω＞0），记f（x）=

OM

•

ON

（O为坐标原点）．若f（x）的最小正周期为2，并且当x=

1

3

时，f（x）的最大值为5．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）对任意的整数n，在区间（n，n+1）内是否存在曲线y=f（x）的对称轴？若存在，求出此对称轴方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）由题设条件知f（x）=asinωx+bcosωx=5sin（ωx+φ），
由已知得

2π ω =2 f( 1 3 )=5

，得ω=π，φ=

π

6

，
所以f（x）=5sin（πx+

π

6

），．
（2）曲线f（x） 有对称轴x=x₀的充要条件是5sin（πx₀+

π

6

）=±5．即πx₀+

π

6

=kπ+

π

2

即x₀=k+

1

3

，k∈Z，
令n＜k+

1

3

＜n+1 得k=n （n∈Z），
所以在区间（n，n+1）内存在曲线f（x）的对称轴，
其方程是x=n+

1

3

，n∈Z，