Question

已知斜率为1的直线l过椭圆

x2

4

+y2=1的右焦点F₂．
（1）求直线l的方程；
（2）若l与椭圆交于点A、B 两点，F₁为椭圆左焦点，求S△F1AB．

Answer 1

分析：（1）由c=

3

，F2(

3

，0)，能求出直线l．
（2）联立直线l与椭圆方程：

y=x- 3 x2 4 +y2=1

，化简得：

5

4

x2-2

3

x+2=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．则x1+x2=

2 3

5 4

=

8 3

5

， x1x2=

2

5 4

=

8

5

，由此能求出S△F1AB．

解答：解：（1）∵由已知c²=4-1=3
∴c=

3

∴F2(

3

，0)
∴直线l为：y=x-

3

．
（2）联立直线l与椭圆方程：

y=x- 3 x2 4 +y2=1

，
化简得：

5

4

x2-2

3

x+2=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
则x1+x2=

2 3

5 4

=

8 3

5

， x1x2=

2

5 4

=

8

5

∴|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

4 2

5

∴|y1-y2|=k|x1-x2|=

4 2

5

∴S△F1AB=

1

2

|F1F2|•|y1-y2|=

1

2

•2

3

•

4 2

5

=

4 6

5

．

点评：本昰考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．