Question

【题目】已知函数f（x）=x2﹣2ax﹣2alnx（a∈R），则下列说法正确的是 ①当a＜0时，函数y=f（x）有零点；
②若函数y=f（x）有零点，则a＜0；
③存在a＞0，函数y=f（x）有唯一的零点；
④若函数y=f（x）有唯一的零点，则a≤1．

Answer 1

【答案】①③④
【解析】解：令f（x）=x2﹣2ax﹣2alnx=0，则2a（x+lnx）=x2 ， ∴2a= ，令g（x）= ，
则g′（x）= =
令h（x）=x+lnx，通过作出两个函数y=lnx及y=﹣x的图像（如下图）

发现h（x）有唯一零点在（0，1）上，
设这个零点为x0 ， 当x∈（0，x0）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，x0）上单调递减，x=x0是渐近线，
当x∈（x0 ， 1）时，g′（x）＜0，则g（x）在（x0 ， 1）上单调递减，
当x∈（1，+∞）时g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）单调递增，
∴g（1）=1，可以作出g（x）= 的大致图像，

结合图像可知，当a＜0时，y=2a与y=g（x）的图像只有一个交点，
则函数y=f（x）只有一个零点，故选项A正确；
若函数y=f（x）有零点，则a＜0或a≥ ，故选项B不正确；
存在a= ＞0，函数y=f（x）有唯一零点，故选项C正确；
若函数y=f（x）有唯一零点，则a＜0，或a= ，则a≤1，故选项D正确．
所以答案是：①③④．