Question

已知数列a₁=1，a_n+1=a_n²+4a_n+2，
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）设b_n=

1

an+1

+

1

an+3

，设数列{b_n}的前n项的和S_n．试证明：S_n＜1．

Answer 1

分析：（1））由已知数列a₁=1，a_n+1=a_n²+4a_n+2，变形为an+1+2=(an+2)2＞0，两边取对数可得ln（a_n+1+2）=2ln（a_n+2），转化为等比数列即可得出；
（2）利用（1）变形，再利用“裂项求和”即可得出．

解答：解：（1）∵数列a₁=1，a_n+1=a_n²+4a_n+2，
∴an+1+2=(an+2)2＞0，
∴两边取对数可得ln（a_n+1+2）=2ln（a_n+2）
∴数列{ln（a_n+2）}是以ln（a₁+2）=ln3为首项，2为公比的等比数列．
∴ln(an+2)=2n-1ln3，
∴an+2=32n-1，即an=32n-1-2．
（2）∵an+1=

a

2 n

+4an+2，
∴an+1+1=

a

2 n

+4an+3=（a_n+1）（a_n+3），
∴

1

an+1+1

=

1

(an+1)(an+3)

=

1

2

(

1

an+1

-

1

an+3

)，
∴

1

an+3

=

1

an+1

-

2

an+1+1

，
∴b_n=

1

an+1

+

1

an+3

=2(

1

an+1

-

1

an+1+1

)，
∴S_n=2[(

1

a1+1

-

1

a2+1

)+(

1

a2+1

-

1

a3+1

)+…+(

1

an+1

-

1

an+1+1

)]
=2(

1

a1+1

-

1

an+1+1

)=2(

1

2

-

1

32n-1

)=1-

2

32n-1

．
∵n∈N^*，∴32n-1≥32-1=8＞0，
∴S_n＜1．

点评：正确变形转化为等比数列、“裂项求和”等是解题的关键．