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已知椭圆C的中心在原点,离心率等于
23
,右焦点F是圆(x-1)2+y2=1的圆心,过椭圆上位于y轴左侧的一动点P作该圆的两条切线分别交y轴于M、N两点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ) 求线段MN的长的最大值,并求出此时点P的坐标.
分析:(I)根据圆的标准方程,得到右焦点F(1,0),可得c=1.再由椭圆离心率等于
2
3
,得到a=
3
2
,从而b2=a2-c2=
5
4
,得到所求椭圆的方程.
(II)设P(x0,y0),M(0,m),N(0,n).求出直线PM的方程,再由F到直线的距离为1,列出关于x0、y0和m的式子,化简整理得到(x0-2)m2+2y0m-x0=0,同理可得(x0-2)n2+2y0n-x0=0,由此说明m、n是方程(x0-2)t2+2y0t-x0=0的两个不相等的实数根.利用根与系数的关系,配方可得|MN|=|m-n|=
4x02+4y02-8x0
(x0-2)2
=
16
9
x02-8x0+5
(x0-2)2
.最后设F(x0)=
16
9
x02-8x0+5
(x0-2)2
,利用导数研究函数的单调性,求得F(x0)的最大值,从而得到线段MN的长的最大值为
2
21
7
,出此时点P的坐标为(-
3
2
,0).
解答:解:(I)设椭圆C的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)
∵椭圆C的右焦点F是圆(x-1)2+y2=1的圆心F(1,0),
∴c=1,结合离心率e=
c
a
=
2
3
,得a=
3
2

因此,b2=a2-c2=
5
4
,得椭圆C的方程为
x2
9
4
+
y2
5
4
=1

(II)设P(x0,y0),M(0,m),N(0,n),
可得直线PM的方程:y-m=
y0-m
x0
x,
化简得(y0-m)x-x0y+x0m=0.
又圆心(1,0)到直线PM的距离为1,
|y0-m+x0m|
(y0-m)2+x02
=1,
平方化简得(y0-m)2+x02=(y0-m)2+2x0m(y0-m)+x02m2
整理可得(x0-2)m2+2y0m-x0=0,同理可得(x0-2)n2+2y0n-x0=0.
因此,m、n是方程(x0-2)t2+2y0t-x0=0的两个不相等的实数根
∴m+n=
-2y0
x0-2
,mn=
-x0
x0-2

∴|MN|=|m-n|=
(m+n)2-4mn
=
4x02+4y02-8x0
(x0-2)2

∵P(x0,y0)是椭圆
x2
9
4
+
y2
5
4
=1
上的点,
x02
9
4
+
y02
5
4
=1
,可得y02=
5
4
(1-
x02
9
4
)
=
5
4
-
5
9
x02
因此,|MN|=
4x02+(5-
20
9
x0  2)-8x0
(x0-2)2
=
16
9
x02-8x0+5
(x0-2)2

记F(x0)=
16
9
x02-8x0+5
(x0-2)2
,得F'(x)=
8
9
x0+6
(x0-2)3

∵椭圆上动点P位于y轴左侧,可得x0∈[-
3
2
,0),而-
3
2
≤x0<0时F'(x)=
8
9
x0+6
(x0-2)3
<0
∴F(x0)是上的减函数,可得F(x0)的最大值为F(-
3
2
)=
12
7
,此时|MN|=
2
21
7

因此线段MN的长的最大值为
2
21
7
,出此时点P的坐标为(-
3
2
,0).
点评:本题给出椭圆满足的条件,求椭圆的标准方程并探索椭圆与圆的位置关系,着重考查了椭圆的标准方程、简单几何性质、一元二次方程根与系数的关系和利用导数研究函数的单调性等知识,属于中档题.
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