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如下图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是正方形,侧面PDC是边长为a的正三角形,且平面PDC⊥底面ABCD,E为PC的中点.

(1)求异面直线PA与DE所成角的余弦值;

(2)求点D到平面PAB的距离.

解:取DC的中点M,AB中点N,连结PM,MN,由△PDC为正三角形和PM⊥CD,又∵平面PDC⊥平面ABCD.且面PDC∩平面ABCD=CD,∴PM⊥平面ABCD,由四边形ABCD为正方形知MN⊥CD.因此以M点为原点,MN,MC,MP所在直线为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系.

则M(0,0,0),C(0,,0),D(0,-,0),P(0,0,a),A(a,-,0),B(a,,0),

(1)由E为PC中点知E(0,,a).

=(a,-,-a),=(0,,a).

·=-a2,||=a,||=a,

∴cos(,)=,

因此异面直线PA与DE的夹角的余弦值为.

(2)设n为平面PAB的法向量,并设n=(x,y,z),则

n=(,0,1).

又∵=(a,0,0),

∴d=||=a,

即点D到平面PAB的距离为a.

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如下图,在四棱锥P-ABCD中,底面为正方形,PC与底面ABCD垂直(图1),图2为该四棱锥的主视图和侧视图,它们是腰长为6cm的全等的等腰直角三角形.
(Ⅰ)根据图2所给的主视图、侧视图画出相应的俯视图,并求出该俯视图所在的平面
图形的面积.
(Ⅱ)图3中,E为棱PB上的点,F为底面对角线AC上的点,且
BE
EP
=
CF
FA
,求证:EF∥平面PDA.
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(Ⅰ)根据图2所给的主视图、侧视图画出相应的俯视图,并求出该俯视图所在的平面
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(Ⅰ)根据图2所给的主视图、侧视图画出相应的俯视图,并求出该俯视图所在的平面
图形的面积.
(Ⅱ)图3中,E为棱PB上的点,F为底面对角线AC上的点,且,求证:EF∥平面PDA.

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