(1)求异面直线PA与DE所成角的余弦值;
(2)求点D到平面PAB的距离.
解:取DC的中点M,AB中点N,连结PM,MN,由△PDC为正三角形和PM⊥CD,又∵平面PDC⊥平面ABCD.且面PDC∩平面ABCD=CD,∴PM⊥平面ABCD,由四边形ABCD为正方形知MN⊥CD.因此以M点为原点,MN,MC,MP所在直线为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系.
则M(0,0,0),C(0,,0),D(0,-,0),P(0,0,a),A(a,-,0),B(a,,0),
(1)由E为PC中点知E(0,,a).
∴=(a,-,-a),=(0,,a).
∴·=-a2,||=a,||=a,
∴cos(,)=,
因此异面直线PA与DE的夹角的余弦值为.
(2)设n为平面PAB的法向量,并设n=(x,y,z),则
即
∴n=(,0,1).
又∵=(a,0,0),
∴d=||=a,
即点D到平面PAB的距离为a.
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