Question

经过长期观察得到：在交通繁忙的时段内，某公路汽车的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度v（千米/小时）之间的函数关系为y=

710v

v2+3v+900

(v＞0)
（1）在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大，最大车流量为多少？（精确到0.1千辆/小时）
（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？

Answer 1

分析：（1）将车流量y与汽车的平均速度v之间的函数关系y=

710v

v2+3v+900

（v＞0）化简为y=

710

v+3+ 900 v

，应用基本不等式即可求得v为多少时，车流量最大及最大车流量．
（2）依题意，解不等式

710v

v2+3v+900

＞10，即可求得答案．

解答：解：由题意有y=

710v

v2+3v+900

=

710

v+3+ 900 v

≤

710

3+2 900

=

710

63

（3分）
当且仅当v=

900

v

，即v=30时上式等号成立，
此时y_max=

710

63

≈11.3（千辆/小时）　　（6分）
（2）由条件得

710v

v2+3v+900

＞10，整理得v²-68v+900＜0，（8分）
即（v-50）（v-18）＜0，
∴18＜v＜50（11分）
故当v=30千米/小时时车流量最大，且最大车流量为11.3千辆/小时
若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在18＜v＜50所表示的范围内．（12分）

点评：本题考查分式不等式的解法，突出考查基本不等式的应用，考查转化思想方程思想，考查理解与运算能力，属于中档题．