Question

如图，设抛物线方程为x²=2py（p＞0），M为直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B．
（Ⅰ）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；
（Ⅱ）已知当M点的坐标为（2，-2p）时，|AB|=4

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．求此时抛物线的方程；
（Ⅲ）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线x²=2py（p＞0）上，其中，点C满足

OC

=

OA

+

OB

（O为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题意先设出A，B和M的坐标，对抛物线方程求导，进而表示出AM，BM的斜率，则直线AM和BM的直线方程可得，联立后整理求得2x₀=x₁+x₂．推断出A，M，B三点的横坐标成等差数列．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，x₀=2代入抛物线方程整理推断出x₁，x₂是方程x²-4x-4p²=0的两根，利用韦达定理求得x₁+x₂的值，表示出直线AB的方程，利用弦长公式求得|AB|，进而求得p，则抛物线的方程可得．
（Ⅲ）设出D点的坐标，进而表示出C的坐标，则CD的中点的坐标可得，代入直线AB的方程，把D点坐标代入抛物线的方程，求得x₃，然后讨论x₀=0和x₀≠0时，两种情况，分析出答案．

解答：解：（Ⅰ）证明：由题意设A(x1，

x 2 1

2p

)，B(x2，

x 2 2

2p

)，x1＜x2，M(x0，-2p)．
由x²=2py得y=

x2

2p

，得y′=

x

p

，
所以kMA=

x1

p

，kMB=

x2

p

．
因此直线MA的方程为y+2p=

x1

p

(x-x0)，
直线MB的方程为y+2p=

x2

p

(x-x0)．
所以

x 2 1

2p

+2p=

x1

p

(x1-x0)，①

x 2 2

2p

+2p=

x2

p

(x2-x0)．②
由①、②得

x1+x2

2

=x1+x2-x0，
因此x0=

x1+x2

2

，即2x₀=x₁+x₂．
所以A，M，B三点的横坐标成等差数列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当x₀=2时，
将其代入①、②并整理得：x₁²-4x₁-4p²=0，x₂²-4x₂-4p²=0，
所以x₁，x₂是方程x²-4x-4p²=0的两根，
因此x₁+x₂=4，x₁x₂=-4p²，
又kAB=

x 2 2 2p - x 2 1 2p

x2-x1

=

x1+x2

2p

=

x0

p

，
所以kAB=

2

p

．
由弦长公式得|AB|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+ 4 p2

16+16p2

．
又|AB|=4

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，
所以p=1或p=2，
因此所求抛物线方程为x²=2y或x²=4y．
（Ⅲ）解：设D（x₃，y₃），由题意得C（x₁+x₂，y₁+y₂），
则CD的中点坐标为Q(

x1+x2+x3

2

，

y1+y2+y3

2

)，
设直线AB的方程为y-y1=

x0

p

(x-x1)，
由点Q在直线AB上，并注意到点(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

)也在直线AB上，
代入得y3=

x0

p

x3．
若D（x₃，y₃）在抛物线上，则x₃²=2py₃=2x₀x₃，
因此x₃=0或x₃=2x₀．
即D（0，0）或D(2x0，

2 x 2 0

p

)．
（1）当x₀=0时，则x₁+x₂=2x₀=0，此时，点M（0，-2p）适合题意．
（2）当x₀≠0，对于D（0，0），此时C(2x0，

x 2 1 + x 2 2

2p

)，kCD=

x 2 1 + x 2 2 2p

2x0

=

x 2 1 + x 2 2

4px0

，
又kAB=

x0

p

，AB⊥CD，
所以kAB•kCD=

x0

p

•

x 2 1 + x 2 2

4px0

=

x 2 1 + x 2 2

4p2

=-1，
即x₁²+x₂²=-4p²，矛盾．
对于D(2x0，

2 x 2 0

p

)，因为C(2x0，

x 2 1 + x 2 2

2p

)，此时直线CD平行于y轴，
又kAB=

x0

p

≠0，
所以直线AB与直线CD不垂直，与题设矛盾，
所以x₀≠0时，不存在符合题意的M点．
综上所述，仅存在一点M（0，-2p）适合题意．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系的综合问题．考查了学生分析推理和分类讨论思想的运用．