Question

①已知tanα=1，α∈(0，

π

2

)，求

2cos2 α 2 -sinα-1

2 sin( π 4 +α)

的值；
②已知θ∈(0，

π

2

)，且sin(

π

4

+θ)=

3

2

，求sin（

π

4

+2θ）的值．

Answer 1

分析：（1）根据条件可以得出α=

π

4

，然后利用诱导公式化简所求式子，并将相应的值代入即可求出结果．
（2）首先求出θ的值，然后利用正弦的和差公式以及特殊角的三角函数值求出结果．

解答：解：（1）∵tanα=1，α∈(0，

π

2

)，
∴α=

π

4

 

2cos2 α 2 -sinα-1

2 sin( π 4 +α)

=

cosα-sinα

2 sin( π 4 + π 4 )

=

2 2 - 2 2

2

=0
（2）∵θ∈(0，

π

2

)，sin(

π

4

+θ)=

3

2

，
∴θ=15°或75°
当θ=15°时或75°
∴sin（

π

4

+2θ）=sin（45°+30°）=

2

2

×

3

2

+

2

2

×

1

2

=

2 + 6

4

当θ=75°时
∴sin（

π

4

+2θ）=sin195°=-sin（45°-30°）=-（

2

2

×

3

2

-

2

2

×

1

2

）=

2  - 6

4

点评：本题考查了三角函数的诱导公式，解题过程中要仔细观察已知角与所求角的关系，属于基础题．