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    已知A、B分别为直二面角αlβ的面α、β内的点,AB与α、β所成的角分别为45°、30°,又AC⊥l于C,BD⊥l于D,求二面角CABD的大小.

    解：AC⊥平面β∠ABC=30°.

        同理,∠BAD=45°.

        设AC=1,则BC=,BD=AD=,CD=1.

        设、、的单位向量分别为a、b、c,在△BCD中,

        CB=,CD=1,故cos∠BCD=,

        ∴a·b=,b·c=0,c·a=0.

       过C、D分别作AB的垂线,垂足分别为E、F,且F是AB的中点,

        =(+)=(c-b+a-b)=(a-2b+c),

        由于A、E、B三点共线,∴可设=x+(1-x) =x·3a+(1-x)·c.

        又=-=a-c且⊥,

        ∴·=［xa+(1-x)c］·(a-c)=4x-1=0.∴x=.

        故=(a+c),

        ·=·=(a-2b-c)·(a+c)=,

        又2=(a+c)2=,

        ∴||=.

        同理,| |=1.

        ∴cos〈,〉===.

        ∴二面角CABD的大小为arccos.

    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源：2013届山西省晋商四校高二下学期联考理科数学试卷（解析版） 题型：解答题

    已知直三棱柱中, , ， 是和的交点, 若.

    （1）求的长；  （2）求点到平面的距离；

    （3）求二面角的平面角的正弦值的大小.

    【解析】本试题主要考查了距离和角的求解运用。第一问中，利用ACCA为正方形, AC=3

    第二问中，利用面BBCC内作CDBC, 则CD就是点C平面ABC的距离CD=，第三问中，利用三垂线定理作二面角的平面角，然后利用直角三角形求解得到其正弦值为

    解法一: (1)连AC交AC于E, 易证ACCA为正方形, AC=3 ……………  5分

    (2)在面BBCC内作CDBC, 则CD就是点C平面ABC的距离CD= … 8分

    (3) 易得AC面ACB, 过E作EHAB于H, 连HC, 则HCAB

    CHE为二面角C－AB－C的平面角. ………  9分

    sinCHE=二面角C－AB－C的平面角的正弦大小为 ……… 12分

    解法二: (1)分别以直线CB、CC、CA为x、y为轴建立空间直角坐标系, 设|CA|=h, 则C(0, 0, 0), B(4, 0, 0), B(4, －3, 0), C(0, －3, 0), A(0, 0, h), A(0, －3, h), G(2, －, －) ………………………  3分

    =(2, －, －), =(0, －3, －h)  ……… 4分

    ·=0,  h=3

    (2)设平面ABC得法向量=(a, b, c),则可求得=(3, 4, 0) (令a=3)

    点A到平面ABC的距离为H=||=……… 8分

    (3) 设平面ABC的法向量为=(x, y, z),则可求得=(0, 1, 1) (令z=1)

    二面角C－AB－C的大小满足cos== ………  11分

    二面角C－AB－C的平面角的正弦大小为

     

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