Question

已知离心率为的椭圆C：过（1，）
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在实数m，使得在此椭圆C上存在不同两点关于直线y=4x+m对称，若存在请求出m，若不存在请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由离心率为的椭圆C：过（1，），知，由此能求出椭圆C的方程．
（2）假设存在实数m，使得在此椭圆C上存在不同两点关于直线y=4x+m对称．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点M（x，y），因为在此椭圆C上存在不同两点关于直线y=4x+m对称，所以，再用点差法进行求解．
解答：解：（1）∵离心率为的椭圆C：过（1，），
∴，解得a²=4，b²=3，c²=1，
∴椭圆C的方程为
（2）假设存在实数m，使得在此椭圆C上存在不同两点关于直线y=4x+m对称．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点M（x，y），
∵在此椭圆C上存在不同两点关于直线y=4x+m对称，
∴，
∵，，
相减得，即y₁+y₂=3（x₁+x₂），
∴y=3x，3x=4x+m，x=-m，y=-3m
而M（x，y）在椭圆内部，则，即．
故存在实数m∈（-，），使得在此椭圆C上存在不同两点关于直线y=4x+m对称．
点评：本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，综合性强，难度大，具有一定的探索性，对数学思维的要求较高．解题时要注意等价转化思想的合理运用．