Question

已知f′（x）是f（x）的导函数，f（x）=ln（x+1）+m-2f′（1），m∈R，且函数f（x）的图象过点（0，-2）．
（1）求函数y=f（x）的表达式；
（2）设g(x)=

1

x

+aln(x+1)-2a在点（1，g（1））处的切线与y轴垂直，求g（x）的极大值．

Answer 1

分析：（1）对函数求导可得f′(x)=

1

x+1

，从而可得f′(1)=

1

2

，由函数f（x）的图象过点（0，-2）可得f（0）=-2代入可求．
（2）对函数g（x）求导，由题意可得g′（1）=0，代入可求a的值及函数g（x），研究函数g（x）的单调性，结合单调性求函数的极大值．

解答：解：（1）由已知得f′(x)=

1

x+1

，∴f′(1)=

1

2

（2分）
又f（0）=-2∴ln1+m-2×

1

2

=-2（4分）
∴m=-1，（5分）
∴f（x）=ln（x+1）-2（6分）
（2）∵g(x)=

1

x

+aln(x+1)-2a．
∴g′(x)=-

1

(x+1)2

+

a

x+1

=

ax+a-1

(x+1)2

．（8分）
又x∈（-1，0）∪（0，+∞）
由g′(1)=

a-2

2

=0，得a=2（10分）
∴g(x)=

1

x

+2ln(x+1)-4
∴g′(x)=

2x2-x-1

(x+1)•x2

=

(2x+1)(x-1)

(x+1)•x2

由g'（x）＞0，解得-1＜x＜-

1

2

或x＞1；
由g'（x）＜0，解得-

1

2

＜x＜1或x≠0．（12分）
则g（x）的单调增区间是(-1，-

1

2

)，(1，+∞)，
单调递减区间是(-

1

2

，0)，(0，1)．
故g（x）极大值为g(-

1

2

)=-2+2ln(-

1

2

+1)-4=-6-2ln2，
极小值为g（1）=1+2ln2-4=-3+2ln2．（14分）

点评：本题考查了函数导数的几何意义：函数在某点的导数值即为改点的切线的斜率，属于基本知识、基本运算的考查．