Question

15．已知抛物线y²=2px（p＞0）上有两个动点A，B及一个定点M（x₀，y₀），F是抛物线的焦点，且|AF|，|MF|，|BF|成等差数列．求证：线段AB的垂直平分线经过定点Q（x₀+p，0）．

Answer 1

分析 先设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），2|MF|=|PE|+|QF|，得出2x₀=x₁+x₂，下面对x₁与x₂关系进行分类讨论：①当x₁≠x₂时，②当x₁=x₂时，分别求得线段PQ的中垂线方程，看它是否经过一个定点Q．

解答 证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵A，B在抛物线y²=2px（p＞0）上，
故y₁²=2px₁，…①，
y₂²=2px₂，…②，
①-②得：
y₁²-y₂²=2p（x₁-x₂）
当直线AB的斜率不存在时，线段AB的垂直平分线为x轴，必过定点Q（x₀+p，0）．
当直线AB的斜率存在时，直线AB的斜率k=$\frac{2p}{{y}_{1}+{y}_{2}}$≠0，
则直线AB的垂直平方线的斜率k=$-\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2p}$，
故AB的垂直平方线方程为：y-$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=$-\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2p}$（x-$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$），
当y=0时，x=p+$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，
又∵|AF|，|MF|，|BF|成等差数列．即有2|MF|=|AF|+|BF|，
由抛物线的定义可得，2（x₀+$\frac{p}{2}$）=（x₁+$\frac{p}{2}$）+（x₂+$\frac{p}{2}$）
即有2x₀=x₁+x₂，
则有x=p+x₀，即有定点（x₀+p，0）．
故线段AB的垂直平分线经过定点Q（x₀+p，0）．

点评 直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等，突出考查了分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高．