Question

已知平面内一动点到点的距离与点到轴的距离的差等于1．（I）求动点的轨迹的方程；（II）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，设与轨迹相交于点，与轨迹相交于点，求的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（1）和（）；（2）时，取最小值16．

【解析】

试题分析：（1）设动点的坐标为，由题意得     2分

化简得 当时；当时

所以动点的轨迹的方程为和（）     5分

（2）由题意知，直线的斜率存在且不为0，设为，则的方程为．

由设则

，    6分

因为，所以的斜率为．设，则同理可得   ，    7分

    10分

    12分

当且仅当即时，取最小值16．  13分

考点：本题主要考查轨迹方程求法，直线与抛物线的位置关系，均值定理的应用。

点评：中档题，本题求轨迹方程时，应用了“定义法”。曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。本题在确定得到的基础上，应用均值定理，使问题得解。