Question

（1）已知数列{c_n}，其中c_n=2ⁿ+3ⁿ，且数列{c_n+1-pc_n}为等比数列，求常数p；
（2）设{a_n}、{b_n}是公比不相等的两个等比数列，c_n=a_n+b_n，证明数列{c_n}不是等比数列．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用等比中项的性质可推断出（c_n+1-pc_n）²=（c_n+2-pc_n+1）（c_n-pc_n-1），整理后求得p的值．
（2）设{a_n}、{b_n}的公比分别为p、q，为证{c_n}不是等比数列只需证c₂²≠c₁•c₃．利用等比数列的通项公式分别表示出a_n和b_n，表示出c₂²的表达式，整理由于p≠q，推断出p²+q²＞2pq，进而推断出c₂²≠c₁•c₃，进而可知{c_n}不是等比数列．
解答：解：（1）因为{c_n+1-pc_n}是等比数列，故有
（c_n+1-pc_n）²=（c_n+2-pc_n+1）（c_n-pc_n-1），
将c_n=2ⁿ+3ⁿ代入上式，得
[2ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺¹-p（2ⁿ+3ⁿ）]²
=[2ⁿ⁺²+3ⁿ⁺²-p（2ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺¹）]•[2ⁿ+3ⁿ-p（2^n-1+3^n-1）]，
即[（2-p）2ⁿ+（3-p）3ⁿ]²
=[（2-p）2ⁿ⁺¹+（3-p）3ⁿ⁺¹][（2-p）2^n-1+（3-p）3^n-1]，
整理得（2-p）（3-p）•2ⁿ•3ⁿ=0，
解得p=2或p=3．
（2）设{a_n}、{b_n}的公比分别为p、q，p≠q，c_n=a_n+b_n．
为证{c_n}不是等比数列只需证c₂²≠c₁•c₃．
事实上，c₂²=（a₁p+b₁q）²=a₁²p²+b₁²q²+2a₁b₁pq，
c₁•c₃=（a₁+b₁）（a₁p²+b₁q²）=a₁²p²+b₁²q²+a₁b₁（p²+q²）．
由于p≠q，p²+q²＞2pq，又a₁、b₁不为零，
因此c₂²≠c₁•c₃，故{c_n}不是等比数列．
点评：本小题主要考查等比数列的概念和基本性质，推理和运算能力．