Question

各面均为等边三角形的四面体S-ABC中，E，F分别为AB与SC的中点，则EF与AC所成角的正弦值为

2

2

．

Answer 1

分析：通过平移将两条异面直线，将AC平移到△SAC的中位线GE，得到∠GEF（或其补角）就是异面直线所成的角，再根据正四面体的性质，计算得出△FEG是以EF为斜边的等腰直角三角形，由此可得答案．

解答：解：如图，取SA的中点G，连接GE、GF、AE、BE，
∵GF是△SAC的中位线，
∴GE∥AC，
可得∠GEF（或其补角）是异面直线EF与AC所成的角，
设四面体S-ABC棱长为2，则GE=1且GF=1，
∵正△SAC与正△SBC中，中线AE=BE=

3

2

SC=

3

∴EF是等腰△ABE底边上的中线，可得EF⊥AB
得到EF=

AE2-AF2

=

2

∴△FEG是等腰直角三角形，可得∠GEF=45°，
即EF与AC所成角的正弦值为

2

2

故答案为：

2

2

点评：本题给出正四面体相对棱中点的连线，求它与其异面的棱所成角正弦值，着重考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．