Question

直线l与抛物线y²=2x相交于A、B两点，O为抛物线的顶点，若OA⊥OB．证明：直线l过定点．

Answer 1

分析：联立直线方程与抛物线方程，利用消元法得到关于x的一元二次方程，由OA⊥OB得x₁x₂+y₁y₂=0，建立关于参数k，b的关系，消去b可得y=kx-2k=k（x-2），显然直线恒过（2，0），注意对直线的斜率的讨论．

解答：证明：设点A，B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）
（I）当直线l有存在斜率时，设直线方程为y=kx+b，显然k≠0且b≠0．（2分）
联立方程得：

y=kx+b y2=2x

消去y得k²x²+（2kb-2）x+b²=0
由题意：x1x2=

b2

k2

，&

y1y2=(kx1+b)(kx2+b)=

2b

k

（5分）
又由OA⊥OB得x₁x₂+y₁y₂=0，（7分）
即

b2

k2

+

2b

k

=0，解得b=0（舍去）或b=-2k（9分）
故直线l的方程为：y=kx-2k=k（x-2），故直线过定点（2，0）（11分）
（II）当直线l不存在斜率时，设它的方程为x=m，显然m＞0
联立方程得：

x=m y2=2x

解得y=±

2m

，即y₁y₂=-2m
又由OA⊥OB得x₁x₂+y₁y₂=0，即m²-2m=0，解得m=0（舍去）或m=2
可知直线l方程为：x=2，故直线过定点（2，0）
综合（1）（2）可知，满足条件的直线过定点（2，0）．

点评：本题考查了直线与抛物线的位置关系，以及证明直线恒过定点，属于基础题．