Question

已知矩形，，点是的中点，将△沿折起到△的位置，使二面角是直二面角.


(1)证明：⊥面；
(2)求二面角的余弦值.

Answer 1

(1)证明见解析；(2).

试题分析：（1）一般是通过证明线面垂直得到线线垂直，即证明其中一条直线与另一条直线所在的平面垂直．（2）利用向量法求二面角的平面角，建立空间直角坐标系利用向量的一个运算求出两个平面的法向量，进而求出二面角的余弦值.
试题解析：(1)∵AD=2AB=2，E是AD的中点，
∴△BAE，△CDE是等腰直角三角形，∠BEC=90°，
又∵平面D'EC⊥平面BEC，面D'EC∩面BEC=EC
∴BE⊥面D'EC，∴BE⊥CD’．
又CD’⊥ED’,且BE∩ED’=E,故CD′⊥面BED’                 4分
(2)法一：设M是线段EC的中点，过M作MF⊥BC
垂足为F，连接D’M，D'F,则D'M⊥EC.
∵平面D'EC⊥平面BEC∴D'M⊥平面EBC
∴MF是D'F在平面BEC上的射影，由三垂线定理得：D'F⊥BC
∴∠D'FM是二面D'-BC-E的平面角．    8分
在Rt△D'MF中，,
,
∴二面角D’-BC—E的余弦值为                    12分，
法二：如图，以EB，EC为x轴、y轴，过E垂直于平面BEC的射线为z轴，建立空间直角坐标系．

则
设平面BEC的法向量为；平面D'BC的法向量为
,
    取x₂=l
得
∴二面角D'-BC-E的余弦值为      12分