Question

已知矩阵，A的一个特征值λ=2，其对应的特征向量是．
（1）求矩阵A；
（2）若向量，计算A⁵β的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意知：A=λ（为特征向量，λ为特征值），利用矩阵的乘法法则化简求出a与b的值，代入矩阵A即可；
（2）根据矩阵A的特征多项式求出矩阵A的所有特征值为2和3，得到A=2=3①，然后根据特征向量线性表示出向量β，利用矩阵的乘法法则求出β=3α₁+α₂②，将①和②代入A⁵β中求出值即可．
解答：解：（1）由题知：=2，即2+a=4，-2+b=2，解得a=2，b=4，
所以；
（2）矩阵A的特征多项式为=λ²-5λ+6=0，
得λ₁=2，λ₂=3，
当，当λ₂=3时，得． 则A=2=3
由β=mα₁+nα₂=m+n=得：解得，则β=3α₁+α₂
∴A⁵β=A⁵（3α₁+α₂）=3（A⁵α₁）+A⁵α₂=．
点评：考查学生会利用二阶矩阵的乘法法则进行运算，会求矩阵的特征值和特征向量．