Question

设f（x）=ax²+bx+1，（a，b为常数）．若，且f（x）的最小值为0，
（1）若在[1，2]上是单调函数，求k的取值范围．
（2）若，对任意x∈[1，2]，存在x₀∈[-2，2]，使g（x）＜f（x₀）成立．求k的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=ax²+bx+1，，f（x）的最小值为0，
∴，解得a=4，b=-4，
∴f（x）=4x²-4x+1．
∴=
=4x+-4≥2-4=4-4，
当且仅当4x=，即x=时，g（x）取最小值4-4．
∵在[1，2]上是单调函数，
∴，或，
解得k≤4，或k≥16．
（2）∵，对任意x∈[1，2]，存在x₀∈[-2，2]，使g（x）＜f（x₀）成立．
当x₀∈[-2，2]时，f（x₀）=4x₀²-4x₀+1在x₀=-2时取最大值f（x₀）_max=f（-2）=4×4-4×（-2）+1=25．
∴=4x+-4＜25在[1，2]恒成立，
∴4x²-29x+k＜0在[1，2]恒成立，
∴k＜25．
∴k的取值范围是（-∞，25）．
分析：（1）由f（x）=ax²+bx+1，，f（x）的最小值为0，解得（x）=4x²-4x+1．所以=4x+-4≥2-4=4-4，再由在[1，2]上是单调函数，能求出k的取值范围．
（2）当x₀∈[-2，2]时，f（x₀）=4x₀²-4x₀+1在x₀=-2时取最大值f（x₀）_max=25．故=4x+-4＜25在[1，2]恒成立，等价于4x²-29x+k＜0在[1，2]恒成立，由此能求出k的范围．
点评：本题考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意均值定理、二次函数的灵活运用．