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(2012•西山区模拟)设x,y∈R,
i
j
为直角坐标平面内x,y轴正方向上单位向量,若向量
a
=(x+
3
)
i
+y
j
b
=(x-
3
)
i
+y
j
,且|
a
|+|
b
|=2
6

(1)求点M(x,y)的轨迹C的方程;
(2)若直线L与曲线C交于A、B两点,若
OA
OB
=0
,求证直线L与某个定圆E相切,并求出定圆E的方程.
分析:(1)由题意,可得点M(x,y)到两个定点F1-
3
,0),F2
3
,0)的距离之和为2
6
,从而点M的轨迹C是以F1、F2为焦点的椭圆,故可得方程;
(2)当直线的斜率存在时,设直线为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),联立直线与椭圆的方程,利用韦达定理及x1•x2+y1•y2=0,可得直线L与圆x2+y2=2相切;当直线的斜率不存在时,可得直线为x=±
2
,与圆x2+y2=2相切.
解答:(1)解:∵
a
=(x+
3
)
i
+y
j
b
=(x-
3
)
i
+y
j
,且|
a
|+|
b
|=2
6

∴点M(x,y)到两个定点F1-
3
,0),F2
3
,0)的距离之和为2
6

∴点M的轨迹C是以F1、F2为焦点的椭圆,其方程为
x2
6
+
y2
3
=1
(5分)
(2)证明:当直线的斜率存在时,设直线为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),
联立直线与椭圆的方程,得
x2+2y2=6
y=kx+m

消去y并整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-6=0.
因为直线与椭圆有两个不同的交点,所以16k2m2-4(1+2k2)(2m2-6)>0,所以m2<6k2+3(﹡)
x1+x2=
-4km
1+2k2
x1x2=
2m2-6
1+2k2
(7分)
y1•y2=(kx1+m)(kx2+m)=
m2-6k2
1+2k2

OA
OB
=0
,∴x1•x2+y1•y2=0
2m2-6
1+2k2
+
m2-6k2
1+2k2
=0
∴m2=2k2+2满足(﹡)式,并且
|m|
k2+1
=
2
,即原点到直线L的距离是
2

∴直线L与圆x2+y2=2相切.(10分)
当直线的斜率不存在时,直线为x=m,
∴A(m,
6-m2
2
),B(m,-
6-m2
2
),
OA
OB
=0
,∴x1•x2+y1•y2=0
m2-3+
m2
2
=0
m=±
2
,直线L的方程是x=±
2

∴直线L与圆x2+y2=2相切.
综合之得:直线L与圆x2+y2=2相切.(12分)
点评:本题考查向量知识的运用,考查椭圆的定义与标准方程,考查直线与圆、椭圆的位置关系,正确运用向量条件是关键.
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科目:高中数学 来源: 题型:

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.
z
)2=0
.其中正确命题的序号是
②④
②④
.(写出所有正确命题的序号)

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