Question

（2012•西山区模拟）设x，y∈R，

i

，

j

为直角坐标平面内x，y轴正方向上单位向量，若向量

a

=(x+

3

)

i

+y

j

，

b

=(x-

3

)

i

+y

j

，且|

a

|+|

b

|=2

6

．
（1）求点M（x，y）的轨迹C的方程；
（2）若直线L与曲线C交于A、B两点，若

OA

•

OB

=0，求证直线L与某个定圆E相切，并求出定圆E的方程．

Answer 1

分析：（1）由题意，可得点M（x，y）到两个定点F₁（-

3

，0），F₂（

3

，0）的距离之和为2

6

，从而点M的轨迹C是以F₁、F₂为焦点的椭圆，故可得方程；
（2）当直线的斜率存在时，设直线为y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理及x₁•x₂+y₁•y₂=0，可得直线L与圆x²+y²=2相切；当直线的斜率不存在时，可得直线为x=±

2

，与圆x²+y²=2相切．

解答：（1）解：∵

a

=(x+

3

)

i

+y

j

，

b

=(x-

3

)

i

+y

j

，且|

a

|+|

b

|=2

6

．
∴点M（x，y）到两个定点F₁（-

3

，0），F₂（

3

，0）的距离之和为2

6

∴点M的轨迹C是以F₁、F₂为焦点的椭圆，其方程为

x2

6

+

y2

3

=1（5分）
（2）证明：当直线的斜率存在时，设直线为y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立直线与椭圆的方程，得

x2+2y2=6 y=kx+m

消去y并整理得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-6=0．
因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以16k²m²-4（1+2k²）（2m²-6）＞0，所以m²＜6k²+3（﹡）
x1+x2=

-4km

1+2k2

，x1•x2=

2m2-6

1+2k2

（7分）
y₁•y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=

m2-6k2

1+2k2

∵

OA

•

OB

=0，∴x₁•x₂+y₁•y₂=0
∴

2m2-6

1+2k2

+

m2-6k2

1+2k2

=0
∴m²=2k²+2满足（﹡）式，并且

|m|

k2+1

=

2

，即原点到直线L的距离是

2

，
∴直线L与圆x²+y²=2相切．（10分）
当直线的斜率不存在时，直线为x=m，
∴A（m，

6-m2 2

），B（m，-

6-m2 2

），
∵

OA

•

OB

=0，∴x₁•x₂+y₁•y₂=0
∴m2-3+

m2

2

=0，m=±

2

，直线L的方程是x=±

2

，
∴直线L与圆x²+y²=2相切．
综合之得：直线L与圆x²+y²=2相切．（12分）

点评：本题考查向量知识的运用，考查椭圆的定义与标准方程，考查直线与圆、椭圆的位置关系，正确运用向量条件是关键．