Question

椭圆与直线x+y=1交于A，B两点，点C是线段AB的中点，且|AB|=2

2

，直线OC的斜率为

2

2

，求椭圆的标准方程．

Answer 1

分析：设椭圆的方程为mx²+ny²=1，将椭圆方程与直线x+y=1联解消去y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系与弦长公式，结合题意建立m、n的关系式，化简得m-mn+n=（m+n）²．再由点C是线段AB的中点，利用中点坐标公式和斜率公式，列式并化简得到

m

n

=

2

2

，联解得到m、n的值，即可得到所求椭圆的标准方程．

解答：解：根据题意，设椭圆的方程是：mx²+ny²=1，（m、n为不相等的正数）．
由

mx2+ny2=1 x+y=1

，消去y得：（m+n）x²-2nx+n-1=0；
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得x₁+x₂=

2n

m+n

，x₁x₂=

n-1

m+n

，
∴|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x 1x2

=

m-mn+n

m+n

∵|AB|=2

2

，直线OC的斜率k=

2

2

，
∴|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

2 2 • m-mn+n

m+n

=2

2

，
化简得m-mn+n=（m+n）²…①，
∵点C是线段AB的中点，
∴设C（λ，μ），可得λ =

1

2

(x1+x2)=

n

m+n

，μ =1-xC=

m

m+n

因此，OC的斜率kOC=

μ

λ

=

m

n

=

2

2

…②
联解①②，可得m=

1

3

，n=

2

3

，
∴所求椭圆标准方程为

1

3

x²+

2

3

y²=1，化简得

x2

3

+

y2

3 2 2

=1．

点评：本题着重考查了椭圆的标准方程、直线的斜率公式、一元二次方程根与系数的关系和直线与椭圆的位置关系等知识，属于中档题．